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　　整理/凌敏

　　來源：AI前線（ID:ai-front)

　　有數(shù)論學(xué)者表示，張益唐有關(guān)朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想的論文結(jié)果意義重大，使得以前的很多結(jié)果從假設(shè)性結(jié)果變成了確定性結(jié)果。

　　張益唐在北大作“零點(diǎn)猜想”學(xué)術(shù)報(bào)告

　　11 月 8 日上午 9 點(diǎn)，數(shù)學(xué)家張益唐在北京大學(xué)作“關(guān)于朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想”學(xué)術(shù)報(bào)告。張益唐表示，在本質(zhì)上，他已經(jīng)證明了朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想。只是像他此前關(guān)于孿生素?cái)?shù)猜想的研究結(jié)果一樣，其結(jié)果可以被改進(jìn)。最新研究突破將有很多應(yīng)用，帶來很多定理。

　　換句話說，張益唐的最新論文表明，在特定范圍內(nèi)，朗道 - 西格爾零點(diǎn)不存在。在這一情況下，朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想正確或成立。（郎道 - 西格爾零點(diǎn)猜想要回答的核心問題就是：是否存在朗道 - 西格爾零點(diǎn)？）

　　資料顯示，張益唐是加利福尼亞大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授、山東大學(xué)潘承洞數(shù)學(xué)研究所所長、北京大學(xué)閔嗣鶴數(shù)論研究中心名譽(yù)主任、北京大學(xué)客座教授，曾在孿生素?cái)?shù)猜想的研究中取得里程碑式的突破進(jìn)展，受邀在 2014 年首爾國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做特邀報(bào)告，獲羅夫·肖克獎(jiǎng) - 數(shù)學(xué)獎(jiǎng)、弗蘭克·奈爾森·科爾數(shù)論獎(jiǎng)、麥克阿瑟天才獎(jiǎng)等諸多獎(jiǎng)項(xiàng)。

　　事實(shí)上，在張益唐之前，有很多數(shù)論專家都曾做過相關(guān)研究，但均沒有成功。

　　關(guān)于攻克朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想的意義和重要性，張益唐的同事、數(shù)論學(xué)家 Stopple 曾說，如果張益唐能對此作出證明，那么加上他的上一份成就（關(guān)于孿生素?cái)?shù)猜想的研究），在某種意義上，（其概率）就像是同一個(gè)人被閃電劈中兩次。“如果他從未成名，那么做出這項(xiàng)工作也會(huì)讓他跟上次一樣被世界矚目。”

　　究竟什么是朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想？為什么張益唐的研究成果能讓數(shù)學(xué)界為之一震？

　　朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想

　　朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想的名字來源于兩位著名的數(shù)學(xué)家：朗道和西格爾。朗道是德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在數(shù)論領(lǐng)域的繼承人，西格爾是朗道曾指導(dǎo)過的博士生，西格爾曾發(fā)現(xiàn)了一類特殊的函數(shù)—— L 函數(shù)理論中的西格爾零點(diǎn)現(xiàn)象。

　　作為數(shù)學(xué)界知名難題之一，朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想主要是想解決 L 函數(shù)是否存在異常零點(diǎn)這一問題，它是解決很多數(shù)論問題的瓶頸，并與已經(jīng)懸置 160 多年的著名數(shù)學(xué)難題“黎曼猜想”相關(guān)。

　　據(jù)《中國科學(xué)報(bào)》介紹，簡單說，如果存在朗道 - 西格爾零點(diǎn)，那么黎曼猜想就是錯(cuò)的；如果朗道 - 西格爾零點(diǎn)不存在，則不會(huì)和黎曼猜想發(fā)生沖突。

　　也就是說，一旦證明了朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想，就可以取得很多新突破，簡化和加強(qiáng)很多經(jīng)典數(shù)論結(jié)果。無論是哪種結(jié)果，無疑都是數(shù)學(xué)史上里程碑式的事件。

　　111 頁論文證明“零點(diǎn)猜想”

　　早在今年 10 月中旬，就有消息稱“數(shù)學(xué)家張益唐已經(jīng)攻克朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想”。

　　據(jù)悉，在 10 月 15 日北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會(huì)舉辦的“我的數(shù)學(xué)歷程”線上活動(dòng)中，張益唐提到，他已做完朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想相關(guān)工作，將于 11 月初發(fā)表論文。“我最近在數(shù)學(xué)上又作出了一個(gè)應(yīng)該說是很大的成果。可以說是弱一點(diǎn)的形式，但本質(zhì)上已經(jīng)是解決了朗道 - 西格爾零點(diǎn)（猜想）問題。解析數(shù)論的同行會(huì)知道，這個(gè)問題的解決，可能比孿生素?cái)?shù)猜想的意義更大。”

　　11 月 5 日，有消息稱張益唐攻克朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想的論文已完成。11 月 7 日，該文論在 arXiv 上正式對外公開。網(wǎng)站信息顯示，該論文提交時(shí)間為 2022 年 11 月 4 日。據(jù)悉，該論文的標(biāo)題是《離散均值估計(jì)和朗道 - 西格爾零點(diǎn)》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero），共 111 頁，由 18 個(gè)部分組成。

　　據(jù)山東大學(xué)官微報(bào)道，11 月 5 日，張益唐教授曾面向山大師生作了一場關(guān)于朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想的線上學(xué)術(shù)報(bào)告，張益唐教授在報(bào)告中首先介紹了朗道 - 西格爾零點(diǎn)，以及它與算術(shù)級數(shù)中素?cái)?shù)分布的關(guān)系。

　　張益唐教授從狄利克雷 L- 函數(shù)和黎曼 zeta 函數(shù)講起，介紹它們在算術(shù)級數(shù)中的素?cái)?shù)分布和素?cái)?shù)定理中的作用。隨后，張益唐教授介紹了他在朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想研究方面的創(chuàng)新思想。張益唐教授在最新預(yù)印本論文里證明了，模 D 的實(shí)原特征 L- 函數(shù)在區(qū)間

　　內(nèi)沒有實(shí)零點(diǎn)，這里 c 是絕對實(shí)效正常數(shù)。如果把這里的 2024 換成 1，就得到原始形式的朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想。2024 雖然大于 1，但在數(shù)學(xué)意義上，與 1 并沒有實(shí)質(zhì)性的差別。

　　也就是說，在這一區(qū)間內(nèi)，朗道 - 西格爾零點(diǎn)不存在。

　　早在 2007 年，張益唐就曾做過朗道 - 西格爾零點(diǎn)問題的研究。

　　2007 年，張益唐在 arXiv 上刊發(fā)了“On the Landau-Siegel Zeros Conjecture”（關(guān)于朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想）的研究，不過彼時(shí)，該研究還存在一些“瑕疵”。時(shí)隔 15 年后，張益平再次上傳有關(guān)朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想的論文。

　　對于這篇最新的研究論文， 英國數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)數(shù)學(xué)研究所退休教授 Roger Heath-Brown FRS 表示，“好好研讀這篇論文需要很長時(shí)間，所以我現(xiàn)在還不能說它是否正確。但它寫得很清楚，而且策略明智。”

　　有數(shù)論學(xué)者對澎湃新聞表示，“新論文尚未完整證明朗道 - 西格爾零點(diǎn)不存在，所以張益唐現(xiàn)階段并沒有完整解決朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想。同時(shí)，從張益唐的論文來看，其當(dāng)前研究路線很可能無法最終解決朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想。”該數(shù)論學(xué)者認(rèn)為，雖然這個(gè)結(jié)果證明不了朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想，但其“強(qiáng)度”已經(jīng)足以在極大范圍上排除西格爾零點(diǎn)。這種范圍對于解析數(shù)論學(xué)者來說，足夠?qū)⑵鋺?yīng)用到數(shù)論問題中，并得到大量有意義的結(jié)論。

　　該數(shù)論學(xué)者進(jìn)一步解釋道，以往的很多論文，要假設(shè)朗道 - 西格爾零點(diǎn)猜想成立（即假設(shè)西格爾零點(diǎn)不存在）；張益唐的新論文雖然沒有排除掉西格爾零點(diǎn)存在的可能性，但其排除掉的范圍足夠涵蓋很多以往論文所需的范圍。這使得以前的很多結(jié)果從假設(shè)性結(jié)果變成了確定性結(jié)果。

　　此外，該數(shù)論學(xué)者表示，論文從 2007 年版的 54 頁擴(kuò)到現(xiàn)在 2022 年版的 111 頁，審稿會(huì)是一個(gè)大工作。“像這種論文，即使是頂尖的專業(yè)人士，把論文全部細(xì)節(jié)推一遍也得幾個(gè)月，所以很難很快下定論。”

　　參考鏈接：

　　https：//www.thepaper.cn/newsDetail_forward_20631242

　　https：//mp.weixin.qq.com/s/bRhgtg1gVTYsi7HLu5NtuQ

　　https：//mp.weixin.qq.com/s/AuRZOk_yx_dJC2pys9bUMg

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