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　　來源：新智元

　　【新智元導讀】關于“零點猜想”問題，大海里的針我沒撈到, 但海底地貌我探得差不多了。

　　一支馬克筆，一張小白板。

　　剛剛，張益唐教授現身北大，在B站的直播平臺上，給廣大網友上了一堂大師級數學課。

　　授課內容大家都知道了，就是最近張教授剛剛取得的新突破：朗道-西格爾零點猜想問題。

　　這是張益唐親自對自己前不久的那篇論文的全面解析。

　　全程40分鐘，無廢話無尿點，硬核知識拉滿，信息密度極大。

　　文字實錄

　　首先，我得介紹一下這個問題本身。

　　雖然我的論文已經掛到aXiv上了，但還是得介紹一下：什么叫朗道-西格爾零點呢？

　　對于這個狄利克雷L函數，L(s,χ)的原始定義是這樣的：

　　分子是χ(n)這個值，分母就是n的s次方。

　　此時，我們只考慮s是個實數的時候，也就是說s=1的時候，它不等于0。那么s＜1的時候，就是說比1稍微小一點， 它有沒有可能等于0？

　　這個問題因為牽扯到很多數論的東西，所以很重要，但始終沒有人能夠解決。

　　只考慮L(s,χ)不等于0的情況——

　　如果s比1稍微小一點，這個分母是比較可控的，c是個常數

　　這是一個猜想，我們說這個猜想比黎曼假設要弱得多，至少是對L函數的黎曼猜想（廣義黎曼猜想）。廣義黎曼猜想是說這個S的實部大于1/2的話不等于0，但就只是很接近1的時候不等于0。

　　這個猜想本質上說就是朗道-西格爾零點問題。

　　這個問題，就是要證明這樣的一類零點是不存在的（尤其是實零點，虛零點還容易一點）。

　　那么現在我們能做到什么程度呢？應該說本質上我們至少證明了這樣一個東西

　　這個2024就像孿生素數里面的情況一樣，是可以改進的。

　　前兩天消息剛傳出來的時候，很多人不是做數學的，所以不理解這個朗道-西格爾零點問題解決的是什么，甚至有人以為就是證明了黎曼假設是錯的。

　　這個我得說一句：我可沒有這個本事（笑）。我只是在一定范圍內部分地證明了黎曼假設應該是對的。如果說我推翻了黎曼假設，那應該是沒什么人會相信。

　　在這篇論文第二節的結尾，我引進了三個proposition，都是不等式。這三個不等式合在一起后，如果說朗道-西格爾零點存在的話，就可以得出一個矛盾。

　　而這個講起來就是一個非常非常復雜的東西，要講清楚也不容易，但是我可以講一講，這里面它的一個基本思路，講一下它最后的歸結。最后就是歸結到這樣一個事情上——

　　怎么會歸結到這個事情上呢？

　　對于一個有限的實數序列χn，怎么樣證明它并不是非負的？

　　這就是要去證明其中有一個（至少有一個）χn是小于0的。

　　說起來這個問題是什么呢？有點不著邊際。

　　但事實上很有意思，在數論中，特別是解析中，很多東西可以歸結到這么一個問題。

　　于是我們就需要發展一個技巧，來證明這個東西是不等于0的。

　　第一個例子，我們就說一個偶數N（一個比較大的偶數），我們用ρ(n)定義這個素數的特征函數，都是定義在正整數上。

　　如果n是素數，ρ(n)等于1，如果n不是素數，ρ(n)就等于0。

　　就可以得到

　　我們說這個序列會什么樣？

　　一般情況下，它可能等于1，也可能等于0， 但它有沒有可能是負的呢？

　　很明顯如果ρ(n)是負的，它必須等于-1，而且他負的充要條件是ρ(n)和ρ(N-n)都是素數。這時候χn才可能是負的，正好等于-1。

　　很明顯，N永遠是等于n+(N-n)，也就是N就是一個素數加上另外一個素數。

　　就是說如果在這個序列（1＜n＜N）里，有某一個χn是小于0的話，充要條件是N是兩個素數的和。

　　所以哥德巴赫猜想最后就可以歸結到我們來構建這樣一個有限序列，這里頭是不是有這么一個小于0的數？如果有的話，哥德巴赫猜想就是對的。

　　那么，是不是還有別的問題也是這樣呢？

　　其實假如我們對孿生素數猜想給出一個弱結果，那么也會是這樣的，也就是造成這么一個χn。

　　它這個定義也是

　　如果這里面有兩個是素數，那么χn就嚴格小于0；如果只有一個素數，那么就等于0；如果沒有就大于0。

　　所以在這樣一個序列里面，我們可以人為地把n的范圍給它確定，里面有沒有負的？這就是我們在孿生素數研究下取得的突破。我們的出發點就是這個東西。

　　話再說回來，怎么樣去證明某一個χn是小于0，我們就給出了一個很簡單的數列，哪怕里面有10000個數，我們也可以寫出來這里面是不是有一個是負的，這很簡單。

　　但我們這里考慮的都是理論性的問題，N是一個很大的數，怎么樣去定義這個東西等于0。

　　這是第一個例子。實際上它既包括了哥德巴赫猜想，也包括了孿生素數弱結果的研究。

　　第二個例子是一個純公式的例子，它跟我要做的事情是相關的。

　　如果有一個Assumption，我們就假定ρ(n+1)>ρn+c——

　　也就是說零點的間隔比c要大，那么我們也可以把它歸結成——

　　其中，f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。

　　為什么這么說呢？因為隨便一個ρn，從ρn到ρn+c之間，他一定沒有零點。而ρn+a和ρn+b一定在這段之間，因為f是連續函數，所以他們的乘積一定是大于等于0的。

　　所以如果我們要證明assumption是不對的，可能有零點的間隔比c要小。如果我能夠證明有一個χn是負的，只要證明它≤0，那這個assumption就錯了。

　　如果我想證明的話，我就得去弄。

　　那么究竟我們需要怎么處理這個問題呢？

　　要證明有限的實數序列不是非負的，里面至少有一個是嚴格小于0的，怎么去證明呢？

　　我們常用的處理方法是這樣：

　　我們找一組新的實數序列{yn}，它要滿足兩個條件。第一：yn≥0，第二個：∑xnyn＜0。只要能找到這樣一組yn，這問題就解決了。

　　那這里頭肯定有一項是嚴格小于0的，但yn是大于等于0，那么xn必須是小于0的。這就解決了傳統要去做的事情。

　　可是怎么去選yn呢？這就牽扯到整個篩法發展的歷史了。

　　最早是挪威數學家Brown在一個世紀前，應該在1917、18年的時候他找到了一組yn。這組yn的表述是很復雜的，但滿足這類條件。

　　然后他用這個條件能推出9+9，在當時來講是不可思議的，是一個驚人的構造。

　　后來，到了20世紀40年代末，另外一個挪威數學家叫塞爾伯格，他想得就比較簡單，他說干脆我就去構造一組實數序列zn，zn是實數就行，沒有任何限制。

　　然后把yn取成zn平方，于是第一個條件就自然滿足了——實數的平方必然是大于等于0的。

　　于是問題就變成了，能不能得出下式小于0？

　　這里要牽扯到孿生素數猜想最近的進步，特別是梅納德最近的貢獻（他最近得了菲爾茲數學獎）。

　　xn的取值與孿生數有關，我們希望這里面至少有一個是負的，然后是求和。

　　在我之前有三個數學家，他們找到一組zn，能夠證明這個和非常切近0，并且可以做到讓ε任意小。

　　但是小于0這一步他們怎么也跨不過去。

　　而這里的主要障礙就是，他們要用到素數在等差級數里的分布，那里頭有個限制就是有一個exponent指數，它不能超過1/2，否則余項就控制不住。

　　于是他們就跨在這個邊上，用他們的話來說差一根頭發絲就能跨過去了，但這個頭發絲就沒跨過去。

　　然后再下一步是我的工作：

　　我的工作從單獨意義上來講，在等差級數分布的問題上，應該是第一次突破了指數等于1/2的界限，就是說可以把這個指數取到比1/2再大一點。但我用的zn基本上還是他們引進的。

　　后來梅納德就把這個問題改進了一大步，他引進了一種新的zn，最后能夠證出這個孿生素數的弱形式，最后我們都是歸結到這樣一個不等式。

　　下面我們再回到朗道-西格爾零點，

　　我們也去構造像例2中實的連續函數，如果兩個點中間沒有零點的話，它們就是同號，它們的乘積應該就是非負的。

　　在論文的引理2.3中，我給出了這么一個東西，那么我就是要證明這么一個事情——

　　如果存在朗道-西格爾零點，就推出

　　我想證明這個東西

　　是錯的，也就是說我能證明

　　這個里面有一個是負的話，就可以了。

　　我花了很長時間，去證明下面這個結果是小于0的。

　　我找了很多很多這樣的東西，發現一些非常有意思的事情：我沒能直接證明它是小于0的，但我發現對很多zn它接近0。

　　它會小于一個ε乘上一個東西，而這個ε可以盡量小，我發現很多這樣的zn。所以就差一點。

　　當孿生素數猜想出來時，有人說我是大海撈針。但實際上不太對，孿生素數實際上我沒有去撈什么針。

　　但是去找這個zn，我確實是在大海撈針。

　　我試了很多很多東西，包括用到像變分法啊，用積分方程去找最大特征根啊，最后都是有一個問題：你可以在不同角度去找zn，找出來以后都是小于一個ε乘上一個數字，但這個ε你就是跨不過去，有點像我在做孿生素數時那樣。

　　那最后是怎么去解決的呢？

　　這里我就想提到我在一開始給出的第一個公式。我的一個最初的想法，就是最關鍵的一步，我為什么能達到一個這樣的證明。

　　第一步，我找到兩組序列，都可以寫成是這種形式——

　　這兩組序列我都可以證明……（這里還是把它寫出實數形式）

　　這個東西我不能證明它小于0，實際上嚴格算它就是不小于0，但可以證明它非常接近于0。

　　同時呢，我也可以證明對于cn和dn，下面這個結果也是接近于0的。

　　而且呢，證明這兩個關系式雖然看起來結果是一樣的，但證明的方法是完全不一樣的，是兩種完全不同的treatment。

　　于是，我們又有一種方式證明這個東西接近0，但不能證明它小于0。

　　那么這兩組序列有沒有可能發生沖突呢？有沖突，就能給出一個矛盾。于是我就用了這樣一個關系式。

　　出發點我們還是假定xn大于等于0。

　　然后我們用這樣一個關系式，也就是一開始寫的那個。

　　因為這個χn是非負的，χn我們就不需要取絕對值了。

　　我們再用這個關系式取一個絕對值，這里可以全部都取絕對值，減號就變成加號了。

　　我們有這樣一個關系式，但是我們可以證明，實際上可以假定χn是非負的，我們可以用柯西不等式來估計下面這個的上界。

　　最后我們發現我們得到一個矛盾（算這個和不如用柯西不等式），我們發現算這個東西是不對的，左邊應該是比右邊的更大，于是用這個方式就推出矛盾來了。

　　大家有興趣的話可以翻譯一下我這篇文章，在第二節最后，我是用三個proposition就把它給弄下來了，然后剩下的就是去證明那三個proposition。

　　我們考慮一下數論的歷史，一開始我們總是有這樣的問題，要去構造一個yn。第一個條件是，這個yn必須是非負的，或者什么樣，然后它乘以χn，加起來要小于0，要去構造這樣一個yn。

　　最早是Brown在1718年 ，用默比烏斯函數的組合來構造出這樣一個東西。

　　后來自從Selburg之后，yn就取成zn的平方，這個東西一直沿用下來。

　　當時我在做孿生素數猜想，我們也知道，yn等于zn平方，它只是一個能夠保證它大于等于0的充分條件，但不是必要條件，還有沒有別的形式 ？

　　有很多人想過，但目前為止沒有人想出來（yn不是這個平方的形式）。

　　在我在這里，似乎有一種新的辦法（更復雜），實際上我是引進了4個序列。

　　最后如果這些χn都是大于0，我能推出矛盾來。

　　今天我就先講到這兒，這個東西作為介紹性的，我也只能講得比較初等一點。

　　PS：如有錯誤，歡迎在留言中指正。

　　論文淺析

　　在這篇最新的論文中，張益唐教授提出了兩個定理。

　　第一，對于L(1,χ)的估計：

　　第二，可能存在的西格爾零點不大于：

　　其中，c1和c2都是正實數，且與D無關。

　　論文地址：https://arxiv.org/abs/2211.02515

　　此前，張益唐教授證明朗道-西格爾零點猜想的論文已經廣泛流傳，由于全篇涉及解析數論等硬核知識，對于廣大網友的理解門檻還是相當高的。

　　論文公布之后，來自知乎、B站、微博等媒體平臺的各路專業人士和UP主的解讀也為數不少了。

　　比如B站知識區UP“鈺子一”對這篇論文結論的初步解讀：

　　他的看法是，在假定張益唐教授的證明是正確的情況下（因為論文目前尚未經同行評議），這篇論文確實是距離證明真正的“零點猜想”最近的一次突破性成果。

　　下面是真正的“朗道-西格爾零點猜想”：

　　注意非零域的范圍，最后一項的指數為-1。

　　張益唐教授這次在論文中成功證明的定理1和定理2，其中2是1的推論：

　　可以看到，定理2的最后一項的指數為-2024，而原始的“零點猜想”的指數為-1。

　　換句話說，這是目前關于朗道-西格爾零點猜想問題上，已證結論和待證的“終極目標”之間，距離最近的一次。

　　張益唐教授在文末表示，這個-2024的指數值，可以取得更大一些，但目前按照論文中的思路，可能取不到-1。

　　除了熱心網友的粗淺解析，來自山東大學的解析數論專家在“張益唐教授談朗道-西格爾零點猜想研究的新突破”中，也對張益唐教授這次的工作進行了專業角度的解析。

　　由于全體模D的狄利克雷特征（Dirichlet character）的適當線性組合，可以表示出模D算術級數的計數函數。因此，狄利克雷L-函數（Dirichlet L-series）與算術級數中的素數分布問題密切相關。

　　對于固定的狄利克雷特征，黎曼ζ函數的解析性質大多容易推廣到相應的狄利克雷L-函數上去。比如當特征是復特征時，其L-函數與黎曼ζ函數有類似的非零區域：

　　但是，當特征是實原特征時，在區間

　　內至多可能存在一個一階實零點，這里c是一個適當的正常數。

　　張益唐教授在最新預印本論文里證明了，模D的實原特征L-函數在區間

　　內沒有實零點，這里c是絕對實效正常數。如果把這里的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點猜想。

　　專家指出，2024雖然大于1，但在數學意義上，與1并沒有實質性的差別。

　　朗道-西格爾零點猜想

　　1859年，德國數學家黎曼在論文“論小于給定數值的素數個數”中，首次提及這個猜想。

　　黎曼發現，質數的分布跟某個函數有著密切關系：

　　這個公式中，s是復數，可以寫成s=a+bi這樣的形式（a是s的實部、b是s的虛部、i則是根號負一）。

　　當s的實部小于1時，整個級數和可能會發散。為了讓函數適用于更廣的范圍，黎曼把上面的ζ函數改寫為：

　　當s為負偶數（s= -2, -4, -6…）時，黎曼ζ函數為零。這些s的值，就稱為平凡零點。

　　不過，此外還有另一些s的值，能夠讓黎曼ζ函數為零，它們被稱為非平凡零點。就是這些非平凡零點，對質數的分布有著決定性影響。

　　到了這里，黎曼本人也無法證明了。

　　不過他做了一個猜測：黎曼ζ函數所有非平凡零點的實部都是1/2，或者說黎曼ζ函數在1/2<x<1這一區域內沒有零點。這就是黎曼猜想。< font="">

　　隨后的數學家們，在前人的基礎上繼續前進。

　　為此，數學家狄利克雷引入了狄利克雷L函數。

　　對于這個函數，也有一個猜想：狄利克雷L函數在1/2<x<1這一區域內沒有零點。這就是廣義黎曼猜想。< font="">

　　倪憶在文章“千呼萬喚始出來，張益唐公布證明朗道-西格爾零點猜想的論文”中解釋道，如果χ(n)的取值都是實數，那么L(s,χ)在

　　里最多只有一個零點，而且這個零點一定是實數。這個可能存在的零點被稱為西格爾零點。而朗道-西格爾零點猜想則斷言，西格爾零點是不存在的。

　　更確切地說，存在一個正實數c，使得對于任何D和相應的實特征χ，L(x,χ)在

　　時都不等于0.

　　倪憶表示，朗道-西格爾零點猜想是廣義黎曼假設的一種特殊情形，但這是一種非常重要也非常困難的情形。在很多解析數論問題的研究中，都需要把西格爾零點單獨拿出來考慮。

　　所以一旦證明了朗道-西格爾零點猜想，就可以取得很多新突破，簡化和加強很多經典數論結果。

　　特別鳴謝：

　　普林小虎隊“千呼萬喚始出來，張益唐公布證明朗道-西格爾零點猜想的論文”

（聲明：本文僅代表作者觀點，不代表新浪網立場。）