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　　這是一個挑戰智者之謎，不知有多少人為它耗盡了一生，最后還是倒在了它的腳下。

　　它的命題極為簡單，使人看著著迷，破解中的艱難卻又令人生畏，它向人們挑戰了整整358年，最終被英國數學家安德魯·威爾斯破解。1994年9月19日，威爾斯揭開了費馬大定理之謎，成為披荊斬棘登上這個數學頂峰的第一人。

安德魯·威爾斯

　　給世人擺出這個難題的是皮埃爾·德·費馬。1601年費馬出生于法國，職業是律師，后來成為當地的司法大員，但在業余卻干著自己的“私活”，他在數論、幾何和數學分析方面都有所建樹。

　　1934年，人們曾發現牛頓的一篇手稿，里面提到他對微積分的發明是受到費馬切線法的啟發。

皮埃爾·德·費馬

　　那時，人們把費馬叫做“業余數學王子”，他本人也很喜歡這個稱呼。他把全部業余時間用于數學，純粹是出于好奇心和自娛自樂，卻從不關心數學會有什么用處。每當他給自己想出一個奇怪的命題，又費盡了腦筋獲得一個奇怪的解答時，他會拿這個題目找朋友尋開心。當朋友們百思不得其解時，他又暗中沾沾自喜，以此為樂。費馬自認為什么問題也難不倒他，笛卡爾叫他“吹牛大王”，而英國數學家約翰·瓦利士則叫他“該死的法國佬”。

　　有一陣子，費馬研究起了丟番圖的書，在《算術定理》的第二集里，他讀到了“畢達哥拉斯定理”，這個定理引起了他的興趣。中國的勾股定理與畢達哥拉斯定理類似。勾股定理來自《周髀算經》周公與商高的對話，即“勾三股四弦五”，雖然它比畢達哥拉斯定理早了500年，但這只是直角三角形勾股關系的一個特例。畢達哥拉斯不僅證明這種勾股關系適用于所有的直角三角形，而且還根據邏輯推理，把它推廣到了直角三角形之外。

　　畢達哥拉斯發現，邊長是自然數的直角三角形可以有無窮多個，這表明，直角三角形的勾股關系一定意味著自然數有一個普遍的規律，由此他建立了自然數的一個通用定理，即“一定能找到一個自然數，它的平方一定等于另外兩個自然數的平方和”。這就是畢達哥拉斯定理，它起源于對直角三角形的研究。

　　費馬看到了這個定理之后，他把這個定理稍加改造，即用n次方代替平方，他想，能不能找到一個不是0的自然數，它的n次方等于另外兩個自然數n次方的和呢？如下式所示：

　　顯然，n=1時，沒有問題；當n=2時，就是畢達哥拉斯定理；當n>2時，又當如何呢？年代久遠，費馬后來做了什么無從可知，但費馬在他的書頁上留下了這樣幾個字，“當n大于2時，這是不可能的，于此，我確信發現了一個美妙的證法，可惜這里的空白太小，寫不下了。”費馬把這個謎留給了后人。

　　費馬大定理，即當n大于2時，不可能找到一個自然數，它的n次方等于另外兩個自然數n次方的和。人們不禁要問，究竟費馬給出了一個什么樣的美妙證法？究竟費馬是否給出了這個美妙的證法？據說一百年后，大數學家歐拉派人到費馬的故居翻了一通，希望找到遺留的手稿，估計他什么也沒有找到。

　　費馬大定理這個世紀之謎讓人久久不忘，它就像個“魔咒”，牢牢地把人拴住不得脫身。費馬之后一百年過去了，歐拉首先獲得了一點突破，他證明出了n=3和n=4時，無自然數解。歐拉之后，費馬大定理停止在這里，即使有人問津也沒有獲得明顯的進展。

　　又過了近百年，突然出現了一位奇女子，這就是瑪利亞·熱爾曼·索菲。

瑪利亞·熱爾曼·索菲

　　索菲的出現是奇跡中的奇跡。那時正是法國大革命時代，女人學科學本身就是個奇跡。索菲對數學感興趣是受到了阿基米德的感動。在羅馬士兵攻進家門時，阿基米德因為過分投入研究，沒有聽見吆喝聲而丟失了性命，這個故事感動了索菲，并把她引入到了科學領域。

　　進入巴黎綜合理工學院后，索菲只能隱姓埋名，她使用了“勒布朗克先生”的身份。原來那位勒布朗克從學院退了學，索菲冒名頂替未被察覺。可是她的作業卻使她露了馬腳。她的作業顯示了非凡的數學才華，震驚了她的老師拉格朗日。拉格朗日想約見這位“勒布朗克先生”面談，索菲這才道出真情。拉格朗日不但沒有生氣，反而敬佩這位奇女子的才華和堅韌，從此他成為索菲的導師與朋友。

　　索菲花了幾年的時間研究費馬大定理。她找到了一種創新的方法，可以證明n等于素數時，在100以內方程幾乎無解。后來狄立希和勒讓德利用索菲的方法，分別獨立地證明了n=5的情況。

　　多年來，索菲一直把自己的研究結果寄給數學大師高斯過目，寫信的時候，自稱是“勒布朗克先生”。就在這時拿破侖進攻德國，索菲突然想起了阿基米德，她為高斯感到不安，擔心同樣的厄運也會降臨到高斯的身上。在率軍進攻普魯士的法國將領中，有一位索菲的朋友帕尼提將軍，索菲叮囑他，一定要注意保護高斯教授的安全。當高斯得知“勒布朗克先生”是位女性時，他萬分驚訝，于是給索菲寫了一封長信，“我無法用語言表達內心的驚訝與敬仰。多么難以相信，尊敬的勒布朗克先生竟然是這樣一位杰出的女性！”

　　就這樣，這位數學女杰，以完全意想不到的方式被當時數學界的兩位泰斗拉格朗日與高斯識破，他們相識、相知，成了朋友。

　　索菲之后，又有百年過去了。其間盡管法國科學院、德國哥廷根大學分別發出告示，懸賞費馬大定理的破解者，躍躍欲試者不少，大多無果而終。

　　直到“二戰”后，兩位日本青年出現了，他們就是谷山和志村。

谷山

　　這是兩位性格廻異的朋友，谷山穿著光鮮，有著詩人般的高亢和不拘小節；志村則正經嚴肅，神情平和。

志村

　　烽火之中日本數學界與世隔絕，谷山與志村除了研究當時已經過時的“模形式”理論，還研究著代數數論中的橢圓方程自然數解。

　　正是這兩個課題，使他們有了一個絕妙的發現。在一系列的計算中，他們找到了一個規律，每一個橢圓方程都對應著一個模形式。但并不確定這是否是一個普遍的規律，于是他們提出了一個猜想，即“任何一個橢圓方程都有對應著一個模形式”并認為這是個普遍的規律。

　　當時，這個結果并不被看好，因為橢圓方程的模形式和一般模形式是完全不相關的理論。但是自從他們提出了這個猜想之后的十幾年里，又有一些特例被證實，漸漸地，“谷山-志村猜想”成為一個被數學界關注的課題，也有人預料，這個課題有可能成為數學領域一個新分支的發端，更使人沒有想到的是，“谷山-志村猜想”竟然成為破解費馬大定理的關鍵。

　　1958年，志村到普林斯頓大學做訪問學者，谷山卻在日本自殺了。破解費馬大定理的征途就這樣又停頓了下來。

　　像冥冥之中早有安排，50年代谷山自殺，另一位數學奇人威爾斯卻在50年代誕生了。

　　威爾斯出生在英國劍橋的牛津教授之家。兩所名校的熏陶使他自小喜愛讀書，更喜歡數學。10歲那年，他在圖書館里讀到費馬大定理，這么簡單的一個公式竟然三百多年來沒人破解。他試圖尋找證法，雖然只是徒勞，費馬大定理的證明卻成了他始終魂牽夢縈的大事。

　　大學畢業后，威爾斯在大學任教的同時也開始了純數學的研究。他現在已經明白，越是貌似簡單的東西，陷阱就會越深，在費馬大定理這個難題上投入精力是件很危險的事。數學卻有可能使人耗盡終生，最終結果卻化為零。要沖擊世紀難題，需要扎實的功底、超常的技能、堅強的意志、嚴密的邏輯思維、非凡的直覺和智慧，還要有最終無果的準備。

　　當然，還得有著某種幸運。似乎威爾斯有著天生的幸運，他在劍橋大學專攻的就是橢圓曲線。無形中，橢圓型曲線為他通向“谷山-志村猜想”搭起了一道橋梁。

　　就在這個時候，他再次受到命運的眷顧。1984年，在德國召開了一屆數學家座談會。會上一位德國數學家法雷提出了一個證明費馬大定理的變通辦法。他把費馬大定理與橢圓方程掛上了鉤，他認為，如果“谷山-志村猜想”普遍正確，那橢圓方程所對應的模形式就會變得“不可思議地奇怪”，以至不可能存在的地步。如果是這樣，利用反證法，“谷山-志村猜想”一旦成立，費馬大定理也就被證實了。

　　1986年，法雷的這個推理又被加州大學伯克利分院的肯尼·黎伯特向前推進了一步。經他證實，法雷所說的模形式確實是不存在的。這樣一來，費馬大定理的證明就順理成章地演繹成這樣一個結果，只要證實“谷山-志村猜想”成立，費馬大定理就被破解。

　　威爾斯暗下決心，他的目標只有一個，就是找到“谷山-志村猜想”的證明。他將一切瑣事排除在外，砍斷了一切人際交往，除了必要的教學和討論會，他不再參加任何活動。他的全部精力都放在了“谷山-志村猜想”上。

　　自1986年威爾斯過上了隱居的生活之后，終日與紙和筆為伴，如同在黑暗中摸索，過著一種十分孤寂的日子。如他自己所說， “就像踏進一座黑暗的大樓。第一間房間是那么黑，你被家具磕磕絆絆，慢慢地摸清了每一個家具的位置。6個月之后，終于找到了電燈的開關，一下子照亮了整個房間。接下來，我又踏入另外一個房間，在黑暗里再待上6個月。就這樣，每一次突破，也許只是一兩天的事，但是沒有前6個月的摸索，這種突破根本不可能發生。”

　　威爾斯的研究并不一帆風順，前三年他采用了數學歸納法，三年之后，即1990—1991年間，他四處碰壁，最后發現這是死路一條。陷入了困境的他，長時間獨自悶在計算中沉思，使他疲憊不堪。

正在進行研究的威爾斯

　　在束手無策中，他想以變化作為休息，于是走出與世隔絕，來到波士頓聽聽同行們的最新研究。令他沒有想到，所遭遇的困境，正是黎明前的黑暗，曙光就在眼前。他突然看到了一篇文章，作者是法拉赫，這篇文章似乎就是為他而寫。受到這篇文章的啟發，他改弦易轍放棄了以前的巖澤理論，開始致力于設法完善柯里亞金-法拉赫的理論。這一改變使他進展神速，終于在1993年5月的一天，他對妻子說，我解決了費馬大定理。

　　威爾斯終于露面了，1993年6月，他在劍橋大學數學學會上公開了他的成果。講座分三次進行，分別是模形式、橢圓曲線和伽羅華表示論。雖然他并沒有挑明與“谷山-志村猜想”的關聯，但到了第二講結束時，數學界已經瘋傳威爾斯的重大發現了。到了第三講，這天是1993年6月23日，牛津和劍橋大學的數學界同行們幾乎都來了，他們擠滿了會場，大家都為這個“世紀講座”興奮異常。威爾斯的講演非常精彩，講話結束，掌聲雷動。

當時講座的情景

　　第二天，安德魯·威爾斯破解費馬大定理的消息登遍了世界各大報紙，他的名字登上了頭版頭條，《時代》周刊在這年的年度人物版上，稱他是“世界上最耐人尋味的人”之一。

　　威爾斯沉浸在幸福之中，但他萬萬沒有想到，在他的200頁稿件中有一處小紕漏，這是在對柯里亞金-法拉赫理論進行推理時，犯下的一個疏漏。

　　現在的威爾斯可沒有前7年獨自研究那樣的快感了，他將在幾十、幾百甚至上千人的注視下工作。他說：“在眾目睽睽之下做學問，實在不是我所希冀的，我非常的不喜歡。”從那次“享受光榮時刻”之后，半年過去了，他的論文還沒有公開，數學界已經在竊竊私語，懷疑他的證明出了問題。到了1993年12月4日，他不得不站出來承認，他的證明有漏洞，正在設法補正。

　　到了1994年的夏季，他幾近絕望。他反復思考，如果放棄，在接近“谷山-志村猜想”的證明中，即使有了疏漏，他的想法和工作仍然可以稱得上是一流的，也稱得上是成功的告退，但他不想就這么承認失敗。1994年9月19日這一天，終于再度現出曙光。

　　回憶起這件事時，他說：“9月19日那天早晨，我坐在書桌旁，細細檢查柯里亞金-法拉赫理論。我根本沒有希望這能生效，只是想知道，為什么它不行。突然間，我有個想法，如果把原先放棄的那個巖澤理論和柯里亞金-法拉赫理論并在一起，恰恰足以證明‘谷山-志村猜想’！我盯著它整整20分鐘，無法相信自己竟然一直忽略了它。那一天，我過一陣就到數學系走廊走一走，再回到辦公室看看它是不是還在那里。它還在！我簡直無法控制自己，我太激動了。在我的生命中，這是最重要的時刻了。我做任何事情，不管過去還是將來，都沒有這一時刻對我的意義重大。”

　　威爾斯實現了他的夢想，1995年10月24日，他的成果最終在《數學年鑒》雜志上以“模式橢圓曲線與費馬大定理”為題發表。手稿長達150頁，共耗時7年。

威爾斯站在費馬的雕像前

　　自此，挑戰人類智慧358年的世紀魔咒終于被徹底破解。這是近代幾何代數與數論研究的頂峰，稱得上是世紀性的成果，為此，威爾斯獲得了爵士的封號。

　　來源：《科學史上的365天》

　　作者：魏鳳文 武軼

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　　編輯：張潤昕