來源：量子位

曉查 編譯整理?

量子位 報道 | 公眾號 QbitAI

NumPy是Python的最重要的擴展程序庫之一，也是入門機器學習編程的必備工具。然而對初學者來說，NumPy的大量運算方法非常難記。

最近，國外有位程序員講NumPy的基本運算以圖解的方式寫下來，讓學習過程變得輕松有趣。在Reddit機器學習社區發布不到半天就收獲了500+贊。

下面就讓我們跟隨他的教程一起來學習吧！

教程內容分為向量（一維數組）、矩陣（二維數組）、三維與更高維數組3個部分。

Numpy數組與Python列表

在介紹正式內容之前，先讓我們先來了解一下Numpy數組與Python列表的區別。

乍一看，NumPy數組類似于Python列表。它們都可以用作容器，具有獲取（getting）和設置（setting）元素以及插入和移除元素的功能。

兩者有很多相似之處，以下是二者在運算時的一個示例：

和Python列表相比，Numpy數組具有以下特點：

更緊湊，尤其是在一維以上的維度；向量化操作時比Python列表快，但在末尾添加元素比Python列表慢。

向量運算

向量初始化

創建NumPy數組的一種方法是從Python列表直接轉換，數組元素的類型與列表元素類型相同。

NumPy數組無法像Python列表那樣加長，因為在數組末尾沒有保留空間。

因此，常見的做法是定義一個Python列表，對它進行操作，然后再轉換為NumPy數組，或者用np.zeros和np.empty初始化數組，預分配必要的空間：

有時我們需要創建一個空數組，大小和元素類型與現有數組相同：

實際上，所有用常量填充創建的數組的函數都有一個_like對應項，來創建相同類型的常數數組：

在NumPy中，可以用arange或者linspace來初始化單調序列數組：

如果需要類似[0., 1., 2.]的浮點數組，可以更改arange輸出的類型：arange(3).astype(float)。

但是有更好的方法：arange函數對數據類型敏感，如果將整數作為參數，生成整數數組；如果輸入浮點數（例如arange(3.)），則生成浮點數組。

但是arange在處理浮點數方面并不是特別擅長：

這是因為0.1對于我們來說是一個有限的十進制數，但對計算機而言卻不是。在二進制下，0.1是一個無窮小數，必須在某處截斷。

這就是為什么將小數部分加到步驟arange通常是一個不太好的方法：我們可能會遇到一個bug，導致數組的元素個數不是我們想要的數，這會降低代碼的可讀性和可維護性。

這時候，linspace會派上用場。它不受舍入錯誤的影響，并始終生成要求的元素數。

出于測試目的，通常需要生成隨機數組，NumPy提供隨機整數、均勻分布、正態分布等幾種隨機數形式：

向量索引

一旦將數據存儲在數組中，NumPy便會提供簡單的方法將其取出：

上面展示了各式各樣的索引，例如取出某個特定區間，從右往左索引、只取出奇數位等等。

但它們都是所謂的view，也就是不存儲原始數據。并且如果原始數組在被索引后進行更改，則不會反映原始數組的改變。

這些索引方法允許分配修改原始數組的內容，因此需要特別注意：只有下面最后一種方法才是復制數組，如果用其他方法都可能破壞原始數據：

從NumPy數組中獲取數據的另一種超級有用的方法是布爾索引，它允許使用各種邏輯運算符，來檢索符合條件的元素：

注意：Python中的三元比較3<=a<=5在NumPy數組中不起作用。

如上所述，布爾索引也會改寫數組。它有兩個常見的函數，分別是np.where和np.clip：

向量運算

算術運算是NumPy速度最引入注目的地方之一。NumPy的向量運算符已達到C++級別，避免了Python的慢循環。

NumPy允許像普通數字一樣操作整個數組（加減乘除、整除、冪）：

向量還可以與標量進行類似的運算，方法相同：

大多數的數學函數都有NumPy對應項用于處理向量：

向量的點積、叉積也有運算符：

我們也可以進行三角函數、反三角函數、求斜邊運算：

數組可以四舍五入為整數：

NumPy還可以執行以下基本的統計運算（最大最小值、平均值、方差、標準差）：

不過排序函數的功能比Python列表對應函數更少：

搜索向量中的元素

與Python列表相反，NumPy數組沒有index方法。

查找元素的一種方法是np.where(a==x)[0][0]，它既不優雅也不快速，因為要查找的項需要從開頭遍歷數組的所有元素。

更快的方式是通過Numba中的next((i[0] for i, v in np.ndenumerate(a) if v==x), -1)來加速。

一旦對數組進行排序，情況就會變得更好：v = np.searchsorted(a, x); return v if a[v]==x else -1的復雜度為O(log N)，確實非常快，但是首先需要O(N log N)的排序時間。

比較浮點數

函數np.allclose(a, b)用于比較具有給定公差的浮點數組：

np.allclose假設所有的比較數字的等級是1個單位。例如在上圖中，它就認為1e-9和2e-9相同，如果要進行更細致的比較，需要通過atol指定比較等級1：np.allclose(1e-9, 2e-9, atol=1e-17) == False。

math.isclose進行比較沒有假設前提，而是基于用戶給出的一個合理abs_tol值：math.isclose(0.1+0.2–0.3, abs_tol=1e-8) == True。

除此之外np.allclose在絕對和相對公差公式中還存在一些小問題，例如，對某些數存在allclose(a, b) != allclose(b, a)。這些問題已在math.isclose函數中得到解決。

矩陣運算

NumPy中曾經有一個專用的類matrix，但現在已棄用，因此下面將交替使用矩陣和2D數組兩個詞。

矩陣初始化語法與向量相似：

這里需要雙括號，因為第二個位置參數是為dtype保留的。

隨機矩陣的生成也類似于向量的生成：

二維索引語法比嵌套列表更方便：

和一維數組一樣，上圖的view表示，切片數組實際上并未進行任何復制。修改數組后，更改也將反映在切片中。

axis參數

在許多操作（例如求和）中，我們需要告訴NumPy是否要跨行或跨列進行操作。為了使用任意維數的通用表示法，NumPy引入了axis的概念：axis參數實際上是所討論索引的數量：第一個索引是axis=0，第二個索引是axis=1，等等。

因此在二維數組中，如果axis=0是按列，那么axis=1就是按行。

矩陣運算

除了普通的運算符（如+，-，*，/，//和**）以元素方式計算外，還有一個@運算符可計算矩陣乘積：

在第一部分中，我們已經看到向量乘積的運算，NumPy允許向量和矩陣之間，甚至兩個向量之間進行元素的混合運算：

行向量與列向量

從上面的示例可以看出，在二維數組中，行向量和列向量被不同地對待。

默認情況下，一維數組在二維操作中被視為行向量。因此，將矩陣乘以行向量時，可以使用(n，)或(1，n)，結果將相同。

如果需要列向量，則有轉置方法對其進行操作：

能夠從一維數組中生成二位數組列向量的兩個操作是使用命令reshape重排和newaxis建立新索引：

這里的-1參數表示reshape自動計算第二個維度上的數組長度，None在方括號中充當np.newaxis的快捷方式，該快捷方式在指定位置添加了一個空axis。

因此，NumPy中總共有三種類型的向量：一維數組，二維行向量和二維列向量。這是兩者之間顯式轉換的示意圖：

根據規則，一維數組被隱式解釋為二維行向量，因此通常不必在這兩個數組之間進行轉換，相應區域用灰色標出。

矩陣操作

連接矩陣有兩個主要函數：

這兩個函數只堆疊矩陣或只堆疊向量時，都可以正常工作。但是當涉及一維數組與矩陣之間的混合堆疊時，vstack可以正常工作：hstack會出現尺寸不匹配錯誤。

因為如上所述，一維數組被解釋為行向量，而不是列向量。解決方法是將其轉換為列向量，或者使用column_stack自動執行：

堆疊的逆向操作是分裂：

矩陣可以通過兩種方式完成復制：tile類似于復制粘貼，repeat類似于分頁打印。

特定的列和行可以用delete進行刪除：

逆運算為插入：

append就像hstack一樣，該函數無法自動轉置一維數組，因此再次需要對向量進行轉置或添加長度，或者使用column_stack代替：

實際上，如果我們需要做的就是向數組的邊界添加常量值，那么pad函數就足夠了：

Meshgrid

如果我們要創建以下矩陣：

兩種方法都很慢，因為它們使用的是Python循環。在MATLAB處理這類問題的方法是創建一個meshgrid：

該meshgrid函數接受任意一組索引，mgrid僅是切片，indices只能生成完整的索引范圍。fromfunction如上所述，僅使用I和J參數一次調用提供的函數。

但是實際上，在NumPy中有一種更好的方法。無需在整個矩陣上耗費存儲空間。僅存儲大小正確的矢量就足夠了，運算規則將處理其余的內容：

在沒有indexing=’ij’參數的情況下，meshgrid將更改參數的順序：J, I= np.meshgrid(j, i)—這是一種“ xy”模式，用于可視化3D圖。

除了在二維或三維數組上初始化外，meshgrid還可以用于索引數組：

矩陣統計

就像之前提到的統計函數一樣，二維數組接受到axis參數后，會采取相應的統計運算：

二維及更高維度中，argmin和argmax函數返回最大最小值的索引：

all和any兩個函數也能使用axis參數：

矩陣排序

盡管axis參數對上面列出的函數很有用，但對二維排序卻沒有幫助：

axis絕不是Python列表key參數的替代。不過NumPy具有多個函數，允許按列進行排序：

1、按第一列對數組排序：a[a[:,0].argsort()]

argsort排序后，此處返回原始數組的索引數組。

此技巧可以重復，但是必須小心，以免下一個排序混淆前一個排序的結果：

a = a[a[:,2].argsort()]

a = a[a[:,1].argsort(kind=’stable’)]

a = a[a[:,0].argsort(kind=’stable’)]

2、有一個輔助函數lexsort，該函數按上述方式對所有可用列進行排序，但始終按行執行，例如：

a[np.lexsort(np.flipud(a[2,5].T))]：先通過第2列排序，再通過第5列排序；

a[np.lexsort(np.flipud(a.T))]：按從左到右所有列依次進行排序。

3、還有一個參數order，但是如果從普通（非結構化）數組開始，則既不快速也不容易使用。

4、因為這個特殊的操作方式更具可讀性和它可能是一個更好的選擇，這樣做的pandas不易出錯：

pd.DataFrame(a).sort_values(by=[2,5]).to_numpy()：通過第2列再通過第5列進行排序。

pd.DataFrame(a).sort_values().to_numpy()：通過從左向右所有列進行排序

高維數組運算

通過重排一維向量或轉換嵌套的Python列表來創建3D數組時，索引的含義為（z，y，x）。

第一個索引是平面的編號，然后才是在該平面上的移動：

這種索引順序很方便，例如用于保留一堆灰度圖像：這a[i]是引用第i個圖像的快捷方式。

但是此索引順序不是通用的。處理RGB圖像時，通常使用（y，x，z）順序：前兩個是像素坐標，最后一個是顏色坐標（Matplotlib中是RGB ，OpenCV中是BGR ）：

這樣，可以方便地引用特定像素：a[i,j]給出像素的RGB元組(i,j)。

因此，創建特定幾何形狀的實際命令取決于正在處理的域的約定：

顯然，NumPy函數像hstack、vstack或dstack不知道這些約定。其中硬編碼的索引順序是（y，x，z），RGB圖像順序是：

如果數據的布局不同，則使用concatenate命令堆疊圖像，并在axis參數中提供顯式索引數會更方便：

如果不方便使用axis，可以將數組轉換硬編碼為hstack的形式：

這種轉換沒有實際的復制發生。它只是混合索引的順序。

混合索引順序的另一個操作是數組轉置。檢查它可能會讓我們對三維數組更加熟悉。

根據我們決定的axis順序，轉置數組所有平面的實際命令將有所不同：對于通用數組，它交換索引1和2，對于RGB圖像，它交換0和1：

有趣的是，（和唯一的操作模式）默認的axes參數顛倒了索引順序，這與上述兩個索引順序約定都不相符。

最后，還有一個函數，可以在處理多維數組時節省很多Python循環，并使代碼更簡潔，這就是愛因斯坦求和函數

（聲明：本文僅代表作者觀點，不代表新浪網立場。）