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債券指數(shù)基金揭秘：分層抽樣法建立復(fù)制組合
債券指數(shù)基金以及債券ETF揭秘系列之四
——分層抽樣法建立復(fù)制組合
海通證券基金核心分析師 單開佳
在前一篇報告《債券指數(shù)基金以及債券ETF揭秘系列之三——個券流動性評分體系構(gòu)建》中，我們建立了一個流動性綜合打分模型，較好的預(yù)測了未來可能交投活躍的個券，為債券的被動化管理提供了充足的“彈藥”。本文則進(jìn)入了債券被動化管理的核心問題——復(fù)制組合的構(gòu)建，力圖通過挑選數(shù)量較少但流動性較高的個券來實現(xiàn)對標(biāo)的指數(shù)的多維度(收益率、久期和信用風(fēng)險)跟蹤。
1. 常用指數(shù)復(fù)制方法回顧
根據(jù)構(gòu)建原理的不同，常用指數(shù)復(fù)制方法可以分為三種主要類型：完全復(fù)制法、優(yōu)化復(fù)制法和抽樣復(fù)制法。
完全復(fù)制法
完全復(fù)制法的目的在于構(gòu)建一個與標(biāo)的指數(shù)相似度極高的投資組合，通過保持組合中每個復(fù)制券的占比與標(biāo)的指數(shù)成分券占比完全一致來實現(xiàn)對其的復(fù)制。該方法較為適用于成分券數(shù)量少，同時流動性較高的指數(shù)，尤為適用于大市值股票指數(shù)，如道瓊斯工業(yè)指數(shù)、上證50指數(shù)等。就債券而言，許多個券尤其是中低評級信用債的發(fā)行規(guī)模小、流動性較差，交投非常清淡，因此大多數(shù)廣譜債券指數(shù)以及長久期債券指數(shù)難以符合這個前提。鑒于此，完全復(fù)制法在債券被動管理的實踐中并不常使用。
優(yōu)化復(fù)制法
優(yōu)化復(fù)制法是一種完全數(shù)理化的組合構(gòu)建方法，通過目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化過程來尋找一個權(quán)重組合，使得投資組合與標(biāo)的指數(shù)的歷史收益偏離度保持最小，并假設(shè)該情景能在未來延續(xù)。這種方法完全基于歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和挖掘，對于個券流動性以及不同風(fēng)險因子的暴露程度重視度不足，當(dāng)遇到基礎(chǔ)利率變動等隨機(jī)事件時，由于風(fēng)險暴露程度的差異，可能造成投資組合與標(biāo)的指數(shù)收益的明顯偏離；同時其對模型輸入數(shù)據(jù)較為敏感，不同計算期得到的權(quán)重差異較大；另外，對于計算結(jié)果也難以找到合理的經(jīng)濟(jì)意義來加以解釋。
抽樣復(fù)制法
抽樣復(fù)制法首先基于一定原則來抽取少數(shù)代表性樣本券，然后再通過最優(yōu)化過程來使投資組合與標(biāo)的指數(shù)保持較為接近的風(fēng)險暴露程度，是對完全復(fù)制法以及優(yōu)化復(fù)制法的一種綜合。在抽樣原則中，可以設(shè)置相應(yīng)入選條件來體現(xiàn)諸如流動性、信用風(fēng)險等基本面或市場面因子，這些因子都是能夠影響債券價格的主要因素，從而保證復(fù)制組合風(fēng)險暴露程度的一致性。
3 種復(fù)制方法的優(yōu)劣對比
從3種方法的優(yōu)劣比較來看，抽樣復(fù)制法結(jié)合了完全復(fù)制法和優(yōu)化復(fù)制法的優(yōu)點，能使投資組合在各風(fēng)險因子上的暴露程度接近于標(biāo)的指數(shù)，同時也便于在抽樣過程中加入個券流動性的考慮，進(jìn)而方便管理人在資金進(jìn)出時不至于產(chǎn)生較大的沖擊成本，相對更加適合于債券指數(shù)尤其是跟蹤信用債或長期債券指數(shù)的復(fù)制組合構(gòu)建。
| 表1 復(fù)制方法優(yōu)劣勢比較 | ||||||||||||
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| 資料來源：海通證券基金研究中心 |
2. 債券指數(shù)復(fù)制的主要問題
債券資產(chǎn)在收益分配方式、存續(xù)期限和交易模式上與股票資產(chǎn)存在著較大差異，因此相對于股票指數(shù)，債券指數(shù)在復(fù)制中存在著以下需要注意的問題：
流動性分化嚴(yán)重
債券流動性的分化較為嚴(yán)重。一般來說，即將到期的債券不易受到市場利率變動的影響，價格波動幅度較小，投資者的交投意愿較強(qiáng)，而長久期債券的利率敏感性較大，市場利率的輕微變化就容易造成價格的大幅波動，交易活躍度相對較差。此外，由于銀行間市場的參與機(jī)構(gòu)多為商業(yè)銀行和保險公司，其資金規(guī)模較為雄厚，因此在該市場上市交易的個券成交量要明顯高于不對商業(yè)銀行開放的交易所市場。再次，利率債和高信用評級債券違約概率相對較低，兌付的確定性強(qiáng)，而商業(yè)銀行和保險公司等主要參與者的風(fēng)險承受能力較低，導(dǎo)致該類品種流動性明顯好于低信用評級產(chǎn)品。鑒于此，在跟蹤債券指數(shù)時，如果不加甄別的進(jìn)行完全復(fù)制，盡管直接跟蹤誤差較小，但當(dāng)面臨資金進(jìn)出時，為保持對指數(shù)的密切跟蹤，必須買賣指數(shù)中一些流動性較差的個券，由此會帶來隱性的沖擊成本，從而增加間接的跟蹤誤差。
關(guān)鍵久期需與指數(shù)保持一致
關(guān)鍵久期可以理解為特定期限收益率變化所導(dǎo)致的債券價格變動。一般來說，被動投資的首要目的在于保持較低的收益跟蹤誤差，通過優(yōu)化復(fù)制技術(shù)雖能夠?qū)崿F(xiàn)歷史收益率的擬合，進(jìn)而使投資組合的整體久期接近于標(biāo)的指數(shù)，但是如果關(guān)鍵久期存在錯配時，一旦收益率曲線發(fā)生非平行移動(如扭動或蝶式變動)，則可能導(dǎo)致較大的跟蹤誤差。
券種配置比例的差異性
信用風(fēng)險是除利率風(fēng)險外又一影響債券價格的重要因素。在中國債券市場上，存在國債、金融債、政府支持機(jī)構(gòu)債、企業(yè)債、公司債、短期融資券、中期票據(jù)等券種，每個券種的信用風(fēng)險和價格影響因素各有不同。在進(jìn)行指數(shù)復(fù)制時，如果不考慮券種配置比例，當(dāng)某個特定價格影響因素出現(xiàn)時，容易增加組合的收益偏離度。
1. 解決方案：分層抽樣復(fù)制方法
上述問題的存在使得債券指數(shù)的復(fù)制具有了多個優(yōu)化目標(biāo)。首先，指數(shù)復(fù)制的第一要務(wù)在于收益跟蹤誤差的最小化；其次，為了使投資組合在收益率曲線出現(xiàn)非平行移動時也能保持較低的跟蹤誤差，還需要盡量減小兩者在關(guān)鍵久期上的偏離度；最后，券種配置比例的差異性也是抽樣復(fù)制模型需要考慮的問題。
多目標(biāo)優(yōu)化過程會大大增加計算工作量，降低實際運作效率。同時，該方法不一定能夠找到全局最優(yōu)解，而局部最優(yōu)解則依賴于初始猜測值的質(zhì)量。鑒于此，我們試圖使用分層抽樣復(fù)制的方法來將多目標(biāo)優(yōu)化過程轉(zhuǎn)化為執(zhí)行效率較高的單目標(biāo)優(yōu)化過程。
我們將用一個指數(shù)跟蹤的案例來具體介紹該方法，不過與股票指數(shù)不同，目前主要債券指數(shù)均未公布其成分券組成及權(quán)重大小，因此本文不得不虛擬的構(gòu)造一個虛擬的AAA級信用債指數(shù)來說明問題。
3.1 標(biāo)的指數(shù)構(gòu)建
由于國債流動性相對較好，為了讓構(gòu)建方法更有說服力，我們選擇了一個樣本券數(shù)量多，且流動性具有一定分化的全市場AAA級信用債作為虛擬指數(shù)構(gòu)造對象。該指數(shù)的取樣范圍為市場上存續(xù)的信用評級為AAA級的信用債，剔除剩余期限在1年以下的品種，其類型涵蓋非政策性銀行發(fā)行的金融債、企業(yè)債、公司債、政府支持機(jī)構(gòu)債、中期票據(jù)、可分離轉(zhuǎn)債存?zhèn)H機(jī)構(gòu)債和資產(chǎn)支持證券。指數(shù)收益采用規(guī)模加權(quán)法計算，對于銀行間個券，如果計算日有成交，以最新成交價作為收益的計算依據(jù)，否則采用中債公司的估算價計算；對于交易所個券，如果計算日有成交，以最新成交價作為收益的計算依據(jù)，否則按照最近一個成交的凈價加上該日至計算日的應(yīng)計利息作為估算價。
3.2 復(fù)制券的分層
分層即是將風(fēng)險收益特征類似的個券進(jìn)行分組，其目標(biāo)在于使分組后的個券組間差異大而組內(nèi)差異小，此步驟可以解決之前所提到的問題2和問題3，是將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化的關(guān)鍵。利率風(fēng)險和信用風(fēng)險是影響債券價格最為重要的兩個因素，這也是我們之前提到的最優(yōu)化目標(biāo)中的兩個方面，考慮到久期和信用風(fēng)險相近的個券收益分化較小，因此我們可以以這兩個因素作為分組依據(jù)來做到復(fù)制組合在利率和信用兩大風(fēng)險因子上與標(biāo)的指數(shù)的匹配。
我們將久期分為1-3年、3-5年、5-7年、7-10年和10年以上5個期限段。盡管目標(biāo)指數(shù)(虛擬AAA級全市場信用債指數(shù))已經(jīng)體現(xiàn)了信用評級的劃分，但考慮到不同券種發(fā)行主體和審核流程同樣在一定程度上體現(xiàn)了信用風(fēng)險的分化，例如企業(yè)債的審批流程要明顯嚴(yán)于中期票據(jù)，因此我們將評級維度轉(zhuǎn)化為券種維度來進(jìn)行成分券分類，將券種分為金融債、企業(yè)債、公司債、政府支持機(jī)構(gòu)債、中期票據(jù)、可分離轉(zhuǎn)債存?zhèn)H機(jī)構(gòu)債和資產(chǎn)支持證券8個類別。按照行列兩個維度設(shè)置5*8的矩陣，然后計算標(biāo)的指數(shù)成分券在每個矩陣元素(即矩陣單元格)上的規(guī)模占比，并使構(gòu)建的復(fù)制組合在每個分層組中的目標(biāo)權(quán)重與標(biāo)的指數(shù)保持一致。以下是虛擬指數(shù)的個券分層權(quán)重，同樣也作為復(fù)制組合的目標(biāo)配置權(quán)重。
在進(jìn)行久期-券種維度的分層匹配之后，復(fù)制組合在這兩個風(fēng)險因子上暴露程度就接近于標(biāo)的指數(shù)，接下來只需要對每個組中的復(fù)制券進(jìn)行模擬優(yōu)化，即可通過少數(shù)個券來復(fù)制整個指數(shù)的走勢，這樣就將收益率-久期-券種的多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單個分層組中的復(fù)制券跟蹤誤差最小化的單目標(biāo)優(yōu)化問題。
3.3 確定復(fù)制券抽取數(shù)量
虛擬AAA級全市場信用債指數(shù)中的成分券在1000只以上。一般來說，抽取的復(fù)制券越多，復(fù)制效果越好，但同樣也會選出較多成交活躍度較差的個券。平衡起見，本文擬使用200只復(fù)制券數(shù)目來模擬標(biāo)的指數(shù)的走勢。在3.2中我們對標(biāo)的指數(shù)個券進(jìn)行了分層，基于個數(shù)占比一致的原則，我們可以根據(jù)標(biāo)的指數(shù)成分券在每個分層組中的個數(shù)占比來確定復(fù)制組合中的復(fù)制券個數(shù)。
以2012年6月期為例，符合虛擬指數(shù)樣本要求的個券數(shù)量總計1056個，樣本中久期在1-3年期的企業(yè)債個數(shù)共有110只，占總數(shù)的10.42%。而復(fù)制組合的目標(biāo)個券數(shù)目為100個，為保持與標(biāo)的指數(shù)個數(shù)占比一致，復(fù)制組合中相同類型個券的抽取數(shù)目為10只(100*10.42%)，其余分層組的抽取數(shù)目確定方式與之一致。值得注意的是，對于一些數(shù)量偏少的組，按照該方法計算可能只會抽取1只個券作為復(fù)制券，但1只個券不存在任何的優(yōu)化空間，因此我們設(shè)置每組的數(shù)量下限要求，即單組至少需要抽取3只個券，如果標(biāo)的指數(shù)中分層組成分券數(shù)量少于3只，則全部納入復(fù)制組合。對于不滿足該條件的組，可以使用“削峰填谷”法來進(jìn)行調(diào)整，即讓數(shù)量較多的組依次降低抽樣數(shù)量來填補(bǔ)不滿足條件的組。具體來看，初始計算后金融債、公司債等券種的目標(biāo)抽取數(shù)量都少于3只，而目標(biāo)抽取數(shù)量最多的是1-3年期的中期票據(jù)，因此可以首先讓該組的抽取數(shù)量減少1只，加到7-10年期公司債的目標(biāo)抽取數(shù)量上。數(shù)量排名第二的是3-5年期的企業(yè)債，因此接下來減少1只該組的抽取數(shù)量使1-3年期政府支持機(jī)構(gòu)債的目標(biāo)抽取數(shù)量達(dá)到2只，……。以此類推，直到滿足約束條件為止。
3.4 組內(nèi)復(fù)制券的挑選
此步驟主要用于應(yīng)對之前所提到的問題1(個券流動性)。考慮到抽樣復(fù)制的主要目的在于規(guī)避某些交投不活躍個券的流動性風(fēng)險，在選擇復(fù)制券時，主要的考慮因素即為其未來成交活躍度。這正是我們在上一篇系列報告中所解決的問題，因此，對于每個組中復(fù)制券的選擇，可以基于主成分綜合評價體系，再根據(jù)3.3中確定的目標(biāo)抽取個數(shù)，選取得分排名靠前的個券作為該分層組的復(fù)制樣本券。
3.5 最優(yōu)組內(nèi)復(fù)制券權(quán)重
本步驟主要使用最優(yōu)化方法來確定每個分層組中所抽取的復(fù)制券的權(quán)重。由于前述分層過程已經(jīng)體現(xiàn)了久期和信用風(fēng)險的優(yōu)化，因此本階段的優(yōu)化目標(biāo)只需要使樣本期內(nèi)復(fù)制組合與相同分層組標(biāo)的指數(shù)成分券的跟蹤誤差或偏離度最小，在完備性和不可賣空的約束條件下，復(fù)制券的權(quán)重和必須為100%，且具有非負(fù)性。
目前使用較多的跟蹤誤差最小化模型包括6個：1)收益偏差二次規(guī)劃模型；2)平均絕對偏差最小化模型；3)最小化最大收益偏離模型；4)收益下方偏差二次規(guī)劃模型；5)平均絕對向下偏差最小化模型；6)最小向下最大收益偏離模型。其中模型4)~6)的要旨在于其并不認(rèn)為收益的向上偏離需要加以規(guī)避，因此更適用于增強(qiáng)指數(shù)復(fù)制策略，而本文的目的主要在于對標(biāo)的指數(shù)的走勢跟蹤而非收益增強(qiáng)，因此這些模型并不合適。模型2)~3)為線性規(guī)劃模型，較之二次規(guī)劃模型的求解難度更低，在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時具有更高的計算效率，但考慮到本文中單個分層組的優(yōu)化參數(shù)多在20個以下，同時市場目前對于收益偏差的考核多以含二次項的跟蹤誤差為主，因此以下主要采用收益偏差的二次規(guī)劃模型來計算復(fù)制券的最優(yōu)權(quán)重，該過程用函數(shù)形式表達(dá)如下：
s.t。
其中：
：第i個復(fù)制券的權(quán)重；
：第i個復(fù)制券在t日的價格變動；
：相同分層組中標(biāo)的指數(shù)成分券在T日的漲跌幅。
由于債券成交的隨機(jī)性強(qiáng)于股票，因此為使得流動性評價具有足夠的有效性，我們按月來更新復(fù)制券選擇及權(quán)重設(shè)置。以7-10年期的企業(yè)債復(fù)制過程為例，在每個月末日(不妨以2012年6月30日為例)，我們可以根據(jù)前述過程來確定該類別復(fù)制券的目標(biāo)權(quán)重占比以及目標(biāo)抽取數(shù)目(假設(shè)為14只)，然后根據(jù)近1個月成交情況計算該類別全部成分券的流動性評分，取得排在前14位的個券作為復(fù)制券。以2012年6月1日至2012年6月30日的有效交易日期作為計算樣本期，通過二次規(guī)劃的方法搜尋一組權(quán)重使得樣本期內(nèi)復(fù)制組合與標(biāo)的指數(shù)成分券的收益跟蹤誤差最小。具體計算結(jié)果如下：
3.6 復(fù)制券在整個組合中的權(quán)重
對于每個分層抽樣組，均可以基于上述方法來確定單個復(fù)制券的最優(yōu)化權(quán)重。由于包括虛擬指數(shù)在內(nèi)的大多數(shù)債券指數(shù)均采用規(guī)模加權(quán)的計算方法，差別僅在于規(guī)模是否經(jīng)過其他因子加以調(diào)整(例如流動性因子)，因此如果每個分層組中的復(fù)制組合均能較好的跟蹤相同組內(nèi)標(biāo)的指數(shù)成分券的走勢，那么在對其按照分層組規(guī)模加權(quán)后的綜合復(fù)制組合也就能形成對標(biāo)的組合的密切跟蹤。因此，我們只需要將復(fù)制券的組內(nèi)權(quán)重乘以該分層抽樣組在整個復(fù)制組合中的目標(biāo)權(quán)重即可得到單個復(fù)制券在整個復(fù)制組合中的權(quán)重。具體計算方法如下：
其中：
：i復(fù)制券在整個復(fù)制組合中的權(quán)重；
：標(biāo)的指數(shù)中久期為k的l券種規(guī)模占總體成分券規(guī)模的比重；
：在久期為k，券種類型為i的分層組中，通過二次規(guī)劃得到的i復(fù)制券的最優(yōu)權(quán)重。
3.7 復(fù)制效果的檢驗
跟蹤誤差是檢驗跟蹤效果的常用指標(biāo)，體現(xiàn)了一段時間內(nèi)的整體跟蹤效果，而區(qū)間最大日收益偏離則體現(xiàn)了復(fù)制策略的極端偏差值，因此我們主要以復(fù)制組合與標(biāo)的指數(shù)的跟蹤誤差和最大日收益偏離來檢驗分層抽樣復(fù)制法的跟蹤效果。考慮到目前指數(shù)基金多按年度來考核跟蹤誤差高低，同時1年的時間內(nèi)市場利率可展現(xiàn)出較多的變動模式，各種風(fēng)險因素出現(xiàn)的情景也較為完整，因此我們主要以最近1年(2011年7月到2012年7月)每個月末測算點之后的1個月作為復(fù)制效果的樣本外檢驗期。
在每個月末點，我們根據(jù)前一個月的成交情況和收益表現(xiàn)來確定每個分層抽樣組的復(fù)制券及其最優(yōu)權(quán)重，然后以計算點之后一個月的時間作為樣本外檢驗期，考察復(fù)制組合對該時段標(biāo)的指數(shù)的跟蹤誤差。每個月按照該規(guī)則進(jìn)行更新。
虛擬指數(shù)的分層抽樣組共計40個，為了表述的直觀，我們以7-10年期企業(yè)債為例來具體檢驗抽樣復(fù)制效果，其余分層組及復(fù)制組合的整體復(fù)制效果均可參照該方法進(jìn)行。首先從復(fù)制券的更新數(shù)量以及權(quán)重變化幅度上看，各期復(fù)制券的重合度較低，同時權(quán)重變化幅度較小，表明投資者在各期間的調(diào)倉換券壓力不大。每個月的具體復(fù)制券及權(quán)重請見文后附錄。
在扣除管理費用以及交易成本的前提下，樣本外檢驗期間中，模擬組合的扣費后跟蹤誤差為0.84%，指數(shù)型產(chǎn)品南方中證50債基和長盛中信全債基金在相同時間段內(nèi)的跟蹤誤差分別為0.80%和2.76%。前者較低的原因在于其標(biāo)的指數(shù)成分券較少同時其挑選了上交所、深交所和銀行間市場中流動性強(qiáng)、規(guī)模大的債券構(gòu)成樣本，復(fù)制的難度相對較小，而長盛中信全債屬于增強(qiáng)指數(shù)型基金，并不以跟蹤誤差最小化為首要投資目標(biāo)，因此跟蹤誤差相應(yīng)偏高。比較來看，本復(fù)制組合僅使用了14只個券來模擬76只指數(shù)成分券的走勢，同時復(fù)制券整體久期偏長，不包含任何利率品種，而其跟蹤誤差僅比南方中證50債高4bps，整體復(fù)制效果還是較為良好的。此外，復(fù)制組合的日最大收益偏離僅為25bps，對于突發(fā)性風(fēng)險因素的應(yīng)對效果也非常出色。
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