今年5月，由9位數學家組成的團隊宣布取得重大突破——他們用總共800多頁的論文，基于過去將近30年堅持不懈的努力，證明了幾何朗蘭茲猜想（Langlands conjecture）。

論文共同作者之一Lin Chen現任清華大學丘成桐數學科學中心助理教授

幾何朗蘭茲猜想的證明解決了一個巨大的開放問題，而且有望影響未來數十年的研究，因為它可能建立深刻的、意想不到的聯系。

更令人興奮的是，這并不是2024年唯一的重大進展。事實上，僅在幾何領域就有幾個里程碑式的證明，黎曼假說和abc猜想等數論中的著名棘手問題也出現了突破。

通常，當數學家找到方法將看似不相關的想法聯起來，打破不同研究領域之間的障礙時，就會產生最好的結果。幾何朗蘭茲猜想的證明就是這樣的結果。

但這樣的突破通常不會憑空出現，而是數學家們經過數十年的努力、通過漸進步驟的積累才最終達成的。散落在各個角落的新想法被不斷地結合、審視、重組，，直到曾經似乎完全不可能的事情變得不那么不可能，這就是數學得以進步的方式。

幾何朗蘭茲猜想的證明

可以說，2024年的最大成果就來自朗蘭茲綱領（Langlands program），這是一個有著50年歷史的雄心勃勃的愿景，它的目標本質上是重新繪制數學地圖——將各個板塊整合成一個統一的盤古大陸，連接數學研究中的各個不同領域。

但可想而知，證明朗蘭茲綱領實際上極其困難，其中的陳述本身就非常復雜且硬核，更不用說證明它們所需的技術了。

20世紀80年代，一位數學家提出了這個綱領關鍵部分之一的幾何版本——「幾何朗蘭茲猜想」，但幾十年來都沒有人能夠解決，直到今年5月。

這個證明對于朗蘭茲綱領的其余部分而言是一個巨大的福音，而且將在未來產生深遠的影響，帶動了數學家們繼續挖掘相關成果。正如一位數學家所說，「它將滲透各領域之間的所有障礙?！?/p>

AI走向主舞臺

還記得ChatGPT初版本的數學能力嗎？當時它雖然對各種自然語言任務手到擒來，但數學能力充其量只能給表情包提供素材。

在2024年之前，各路LLM都無法正確計算簡單的加減乘除，更不用說解決應用題了，至于為數學問題給出成熟的證明，那更是無從提起。

但今年開始，情況變得不一樣了。

我認為，三年后，AI將對數學家有用，它將成為一個出色的co-pilot（副駕駛員）。?

你試圖證明一個定理，有一步你認為是正確的，但你不太明白它是如何正確的，你可以說，「人工智能，你能幫我做這個嗎？」?它可能會說?「我想我能證明這一點」。?

有了AI，我們可以一次證明數百或數千條定理，人類數學家將指導AI做各種事情。因此，我認為研究數學的方式將會改變，而且實際使用人工智能會變得越來越容易管理。

「球堆積」紀錄被打破

與幾何朗蘭茲猜想不同，「球堆積」問題的表述非常直觀：在給定的n維空間中要塞進一堆半徑相同的球，如何排列才能使得密度最大，也就是塞進的球最多？

在三維空間中，可以將球體排列成金字塔形，類似于香檳塔，但如果是更高維度呢？

2016年，烏克蘭數學家Maryna Viazovska證明了，如果要在8維和24維空間中填充球體，有一種特定的晶格結構是最佳方式，但對于其他的高維空間，答案依舊未知。

數學家們希望找到一個通用的解決方案——一個公式，提供一種在任意高維度上密集堆積球體的方法，即使無法給出最優解。

今年4月，我們見證了75年以來通用版本球堆積問題的首次重大進展。數學家們沒有采用Viazovska那樣整齊有組織的方式排布球體，而是另辟蹊徑地利用圖論，給出了一個非常無序的堆積方案。

50年前米爾諾猜想的反例

證明古老的猜想很重要，但反駁它們也很重要。在數學和各種科學中，我們都必須始終保持懷疑，即使是對于直覺上很可能成立的事情。

正是這種懷疑和批判的態度帶來了今年另一個重要的幾何證明：三位數學家發現了發現了米爾諾猜想（Milnor conjecture）的反例。

米爾諾猜想是一個有50年歷史的問題，被稱為「拓撲學的圣杯」，涉及流形的曲率與形狀之間的關系。

1968年，當時普林斯頓大學的著名數學家John Milnor推測，如果一個完整形狀有較為平均的曲率，就足以告訴我們它不可能有無限多個孔。

舉出反例的這三位數學家曾經花費了很多的時間和精力試圖證明米爾諾猜想，但最終都宣告失敗，但柳暗花明又一村，他們從反面想到——或許這個猜想就是錯的？或許可以有構建反例的空間？

從這時開始，他們的進展幾乎前所未有的順利。短短幾個月內，三人就弄清楚了如何構造一個奇怪的七維流形。他們通過以微妙而復雜的方式將無限多個七維碎片粘合在一起，一點一點組裝他們需要的整個流形，同時確保里奇曲率始終為非負值。

最終，他們得到了一個所謂的「平滑分形雪花」——一種無限而精致的自相似結構。它在每個點上都有非負的里奇曲率，但有無數個洞，從而反駁了米爾諾猜想。

這項工作涉及一種新型結構的開發，揭示了宇宙的可能形狀也許比數學家想象的還要奇怪，盡管以我們現在所知，宇宙的形狀的確非常奇怪。

數論的重要進展

解決上述這些主要的幾何問題就像在數學的平原上豎立高聳的紀念碑。但為未來的紀念碑奠定更好的基礎也至關重要，這正是2024年數論領域所發生的情況。

對于該領域的一些頂級問題，數學家們在問題理解上取得了至關重要的進展，盡管是漸進的。

雖然距離證明黎曼假說還有很長的一段距離，但包括陶哲軒在內但多位數學家都表示，這是一個「歷史性的時刻」，是1940年之后取得的唯一實質性突破，兩位作者的工作取得了「轟動性的結果」。

此外，組合數學領域最大的未解問題之一——完全無序的數學不可能性，被UCLA華人研究生和兩位MIT研究生取得了突破，他們在論文中探討了數學中的無序如何不可避免地產生秩序，標志著Szemeredi問題數十年來的首次進展。

不可否認，所有這些數論問題距離解決還有很長的路要走，但通過一步步接近，數學家們開發出了強大的新工具包并闡明了新的觀點。加上人工智能領域日新月異的進展，誰能預測2025年及以后會發生什么？

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