標準方差和VaR掩蓋了小概率深度虧損， 而小概率事件可能非常可怕。 美國長期資本公司破產、次貸危機、中信泰富和深南電因為累積看跌期權Accumulator產生巨虧， 都是因為忽視了小概率深度虧損。

　　基于復利準則的投資組合理論(以下簡稱G理論)

　　早在1997年，我的專著《投資組合的熵理論和信息價值-兼談股票期貨等風險控制》正好包含了《財富公式》所缺少的技術細節。在此與讀者分享。

　　復利通俗說來就是利滾利的利率，學術上叫幾何平均收益。比如100元10年后變成1100元，單利或算術平均收益是(1100-100)/10=100%， 但是復利或幾何平均收益x由下式確定：(1＋x)10=1100/100。由此解得x=27%。幾何平均收益反映長期累積增值， 但是算術平均收益不能反映。比如有兩個證券， 一個每年增值25%； 另一個一年增值100%， 下一年又虧損50%， 反復如此(長期不賺錢)。雖然后一個證券的算術平均收益也是25%，但是其幾何平均收益是零，所以其投資價值差遠了。

　　對于上面的擲硬幣打賭，幾何平均產出比Rg＝1＋G(G是幾何平均收益)隨下注比例q的變化是其中P1和P2分別是虧損和贏利的概率。數學分析表明，q = 0.25時，幾何平均收益Rg達最大。這就是說，對于上面的擲硬幣打賭，25%是最優投資比例。

　　算術平均收益E和投資比例q成正比關系；而幾何平均收益G不是，q太大反而不好，如果q>0.5則從長遠看必然虧損。可見復利準則對頭寸和杠桿的限制很嚴。

　　上面假設硬幣的兩面出現的可能性或概率相同，贏虧幅度是給定的(-1和2)。 如果硬幣是彎的，P1和P2皆不等于0.5, 并且虧損和贏利的幅度也是變的(為r1<0和r2>0)， 這時幾何平均產出比等于令Rg對q的導數等于0,可以求出最優投資比例是如果令r1=1(即虧了輸掉全部下注資金)，則上面公式就變成著名的凱利公式：

　　對于更一般的投資組合。幾何平均產出比變為其中qk是不同證券上的投資比例， i表示一組證券的價格矢量的序號， Rik表示第i個價格矢量發生時，第k種證券的收益。我們記為增值熵，求使H達最大的一組q0, q1, q2, ...... 這組投資比例就是最優組合。

　　和馬科維茨理論一致的是，G理論也強調分散投資降低風險， 特別是利用不同證券之間的反相關性質降低風險。但是不同的是：1) G理論把復利或長期累積增值幅度當作客觀標準，而馬科維茨理論不然。2)G理論要求我們預測最大可能虧損幅度和相應的概率，它力圖避免深度虧損和破產； 而馬科維茨理論忽視偶然的深度虧損。

　　用破產風險測度取代流行的風險測度VaR

　　流行的風險測度是VaR，其含義是：在未來某時段內，一個投資組合在多大可能(置信度)的情況下，價值損失不超過多少(VaR值)。比如，一個基金在95%的情況下，一天損失不超過100萬元。VaR測度的問題是：

　　1)在另外5%的情況下(以置信度95%為例)，虧損最多達到多少？VaR測度并不提供。

　　2)VaR是根據過去數據統計得到的，而過去不表示未來。過去見到的天鵝都是白的，不表明不會出現黑天鵝。2008年的經濟危機就前所未有。

　　為此， 我建議用勾股弦公式定義風險F—它反映收益的波動性和虧損深度。再用f=F/(1+E)定義破產風險， 它在0和1之間變化。當G＝E時，F＝0， 破產風險f＝0； 當G≤-1時(只要有一個價格矢量使得組合虧損超過100%， 那么不管它發生的概率多么小，都會有G≤-1)，破產風險f=1。有趣的是f和通信理論中的信噪比很相似。

　　由于高杠桿交易流行，一個組合的可能虧損可能很深，雖然它發生的概率很小，但是一旦發生， 破壞力極大， 所以不能不防。破產風險測度f將告訴我們一個投資組合離破產有多遠。限定f在某個范圍，比如f<0.3, 便是把投資風險控制在適當范圍內。

　　資料：“財富公式”是指美國著名物理學家約翰.凱利在1956年提出的一個數學公式，被稱為“凱利公式”。它證明了在通信噪音干擾理論中使用的數學模型，同樣適用于投資者對于風險和收益的管理。

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