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　　文/賈浩楠

　　來源：量子位（ID：QbitAI）

　　那位大范圍“統一”了數學和物理學的數學家伊薩多·辛格（Isadore Singe），去世了，終年96歲。

　　他是華人數學巨匠陳省身的弟子，與楊振寧、丘成桐、吳文俊同門。

　　他最重要的貢獻，是與證明了黎曼猜想的數學家邁克·阿蒂亞一同提出了阿蒂亞-辛格指數定理。

　　這項定理打通了拓撲和分析這兩個數學子領域壁壘，之后，又成了純數學和理論物理的橋梁。

　　他的工作被評價為“牛頓和萊布尼茲時代以來數學物理蓬勃發展的基礎”。

　　紐約大學的數學家杰夫-切格說：”他改變了人們對數學的看法，他表明看似不同的領域有著深刻的聯系。”

　　他還是虔誠、狂熱的數學信徒，他直言：

　　數學大門只對少數人敞開，對于大多數人來說，教授數學就像是給聾子解釋音樂。

　　二戰前線學數學

　　伊薩多·辛格1924年出生在底特律的一個波蘭移民家庭，父親是印刷工人，母親是裁縫。

　　辛格一家是猶太人，初到美國只會說意第緒語，是年幼的辛格先學會了英語，然后又教會了全家人。

　　辛格的本科，就讀于密歇根大學的物理專業。

　　但是由于二戰爆發，才上了兩年半大學的辛格，匆匆畢業，以雷達技術員的身份加入美國陸軍，駐扎在菲律賓。

　　這時的辛格，仍然深愛著物理。

　　本科匆匆畢業，辛格的許多基礎課程并不扎實，他發現自己學相對論和量子物理時，數學知識根本不夠用。

　　所以，在菲律賓的軍隊駐地，辛格利用每晚的空余時間，通過函授課程學習數學。

　　為了心愛的物理去修數學，而且還是在二戰前線，這樣熱愛物理的辛格，最后為什么“叛逃”去了數學陣營呢？

　　一入數學深似海，從此物理是路人

　　二戰結束后，辛格來到芝加哥大學申請了數學系。

　　但是這時，他心心念念的仍然是物理。

　　他晚年接受采訪時說，當時打算只學兩年數學，基礎打好后，一定要回到物理學。

　　但是學了一年數學之后，他的想法發生了變化。

　　他開始為數學而傾倒，他說，在研究數學時，他才真正感到滿足。

　　而之前的愛的物理，遠沒有數學來的優雅。

　　就這樣，辛格說，他還是喜歡跟更“漂亮”的在一起。

　　至于量子力學，則成了他口中那個“丑東西”（uglyness）。

　　任（zha）性（nan）…….

　　于是，他在芝加哥大學數學系申請了博士學位，而他的導師，正是華人數學大師陳省身。

　　師從陳省身，師徒共創數學科學研究所

　　陳省身是世界著名幾何學家，他奠定和開創了微分幾何研究，高斯-博內-陳定理和Hermitian流形的示性類理論已經成為現代數學重要組成部分。

　　陳省身1911年出生在浙江嘉興，先后就讀于南開大學、清華大學數學系。

　　在漢堡大學取得博士學位后，先后在清華、西南聯大執教。

　　楊振寧在西南聯大讀書時，修過陳省身的微分幾何課。

　　他還是中國自己培養的第一位數學碩士，1985年后回到祖國定居，主持建立了南開大學數學所。

　　1949年，陳省身赴美，進入芝加哥大學做教授。

　　陳省身教授本身的研究領域是微分幾何。

　　在他的帶動下，二戰后，幾乎被人們認為“已死”的微分幾何學，又在芝加哥大學復興了。

　　當時，陳省身的麾下，聚集著一大批日后優秀的數學家，其中就包括伊薩多·辛格。

△陳省身與楊振寧，圖源：新華社

　　辛格在慶賀陳省身八十壽辰的文章中曾回憶說：“在陳省身的影響下，很多書出版了，學科繁榮起來了。我無需在此強調眾所周知的事實：陳省身把大范圍微分幾何引進了美國數學……半個世紀以來，正是陳省身告訴我們應該如何去做微分幾何。”

　　1981年，辛格還和自己的老師陳省身一同創建了美國國家數學科學研究所（MSRI）。

　　正是陳省身，帶領辛格走上了幾何學和分析數學交叉的研究方向。辛格日后主要的學術成就，都來自這個領域。

　　對辛格自己來說，改變計劃學數學是一件幸事。

　　而令人意想不到的是，當初拋棄物理學的辛格，在數學方面的成就，竟然又“反哺”了物理學。

　　構建純數學到理論物理的橋梁

　　伊薩多·辛格最重要的研究成果，就是著名的阿蒂亞-辛格指數定理。

　　在芝加哥大學獲得博士學位后，辛格來到MIT做博士后，并在這里度過了他的全部職業生涯。

　　辛格擅長的優勢方向是數學分析，簡單地說是用微分方程來描述各種物理過程。

　　但彼時，沒人知道如何精確求解復雜微分方程，科學家們只能用近似的方法來解決。

　　而英國數學家邁克·阿蒂亞，他專攻拓撲學，研究抽象的數學物體的形狀，它們往往比普通的三維物體多出許多維度。

　　拓撲學認為形狀是有彈性的，所以物體可以被拉扯或擠壓而不改變其基本性質。

　　而數學分析則要求對象是剛性的。

　　當時，人們認為這兩個領域似乎幾乎是不可調和的。

　　保羅·狄拉克在1927年提出了一個描述自旋電子波函數的方程。

　　方程中，引入了一個“狄拉克算子”。

　　但在辛格之前，沒有人意識到狄拉克算子對數學有多重要。

　　1962年，當辛格在牛津大學休假時，邁克爾·阿蒂亞和辛格展開合作，試圖找到將拓撲工具應用到微分方程上的解決方案。

　　具體來說，他們弄清了如何定義自旋流形上的狄拉克算子，就是沒有方程的精確值，也能計算出方程的解。這就是Atiyah-Singer指數定理：

　　對于緊流形上的橢圓微分算子，解析指數（與解空間的維數有關）等于拓撲指數（用一些拓撲數據定義）

　　這個結果在拓撲學和分析學之間架起了一座橋梁。

　　在接下來的十年里，Atiyah博士、Singer博士和其他人在此基礎上不斷拓寬和發展，創造了一個新的領域——指數理論。

　　指數理論打破了拓撲和分析學壁壘，“橋梁意義”不言而喻。

　　當時，物理學界對阿蒂亞和辛格所證明的內容一無所知。

　　在整個20世紀60年代和70年代初，物理學家和數學家似乎居住在兩個不同的世界。

　　物理學家正在研究規范場，試圖統一四種基本力中的三種—電磁力和弱相互作用力和強相互作用力。

　　而數學家則在研究 拓撲學中的纖維叢，它是在每個點上附著一個平面矢量空間的彎曲空間。

　　但在1975年，辛格以前的學生吉姆-西蒙斯（Jim Simons）和他在石溪大學物理系的同事楊振寧一起討論時意識到

　　楊振寧提出的規范場理論 ，其實就是拓撲學中的纖維叢。

　　這種觀點的中心思想是，橢圓微分算子的行為與狄拉克算子一樣。而狄拉克算子是所有其他算子必須遵循的模板。

　　通過這種聯系，阿蒂亞-辛格指數定理適用于物理學，就像它適用于數學一樣。它給數學帶來的革命現在也延續到了物理學。

　　這一進展堪稱20世紀末數學和物理學統一的大爆炸，而伊薩多·辛格就是那個點燃火花的人。

　　“數學大門只對少數人敞開”

　　對于大多數數學家來說，哪怕只有一個同名定理，也是事業的巔峰。

　　在MIT的執教和研究生涯中，除了阿蒂亞-辛格指數定理，辛格還留下了許多以自己名字命名的定理公式。

　　在全局微分幾何學中，有安布羅斯-辛格定理。

　　在C*代數中，有一個重要的猜想，叫做Kadison-Singer問題，是基于他們關于三角算子的論文。

　　雷-辛格扭轉（也叫解析扭轉）在拓撲學和物理學上有重要的應用。

　　麥肯-辛格則公式將熱方程方法引入指數理論。

　　作為數學家，辛格可謂成果頗豐。

　　而他對于數學的看法態度，也與之前量子位介紹過的“玩數學”的大師康威不同。

　　他對數學，更加嚴肅、虔誠。

　　在晚年的采訪中，他說，對于大多數人來說，教授數學就像是給聾子解釋音樂。

　　而“真正的數學大門，只對少數人敞開”（available for few people）。

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